Dall'aritmetica concreta o similalgebra all'astratta algebra (formule risolutive). Fin dalla scuola primaria!

Chi scrive si occupa di orientamento nelle scuole. Spessissimo, nel passaggio dalla scuola secondaria di primo grado a quella di secondo grado, gli studenti mi riportano le paure legate alle nuove materie e alle possibili bocciature. La fisica e la matematica sembrano essere le materie che spaventano di più e allora diventa immediato chiedere: “Non ti piace la matematica o pensi di non essere abbastanza bravo/a in questa materia?”. Molto spesso la risposta è più semplice della domanda, perché gli studenti rispondono semplicemente: “È una materia difficile”. Quando ho letto questo libro, che mi era stato indicato da un amico insegnante, sono rimasta colpita dalla facilità con cui, partendo dall’esperienza quotidiana dei calcoli più semplici, il metodo proposto (aritmetica concreta o similalgebra) permette di spiegare nozioni complesse, come il controllo dimensionale della fisica, le astrazioni della matematica (necessarie per risolvere i problemi concreti), la necessità di usare l’algebra per generalizzare l’aritmetica, ecc. Ci si rende conto di come la matematica e la fisica ci accompagnano in ogni momento della nostra vita (persino quando facciamo la spesa) e di come sia meno difficile comprendere il loro legame se viene spiegato con il metodo giusto, cioè insegnando fin dall’inizio a “formalizzare” quel legame nel modo avanzato e definitivo che viene proposto, tenendo conto che la matematica è astratta e la fisica, invece, è concreta. Un modo per formalizzare la risoluzione di un problema che si ripeterà sempre uguale a se stesso, partendo con la formula risolutiva e poi continuando col sostituire le grandezze che vi compaiono con i valori del caso specifico e le rispettive unità di misura. Così facendo, il modo più rigoroso possibile di procedere non potrà essere mai più dimenticato. Dopo anni di esperienza di insegnamento l’autore, con grande coinvolgimento, condivide nel testo i frutti delle sue riflessioni come professore e delle sue esperienze extra scolastiche, mettendole a disposizione di insegnanti e studenti, augurandosi che anche gli autori dei testi scolastici ne tengano conto. Il libro presenta in maniera sistematica un metodo che mette il controllo dimensionale in primo piano e mostra come, dopo il suo primo uso nelle classi della scuola primaria, il controllo dimensionale ritornerà continuamente, in geometria e in fisica, nello studio liceale e universitario, come viene mostrato anche con ben quattro “lavagne” per la caduta dei gravi, alle pagine da 148 a 151. Vengono poi proposti schemi per spiegare rigorosamente le operazioni di base della matematica, sia astratta che concreta. Le tante “lavagne” presenti nel testo (così come quelle delle due copertine) sono di supporto alla comprensione e rappresentano per tutti gli insegnanti un'opportunità per stimolare i loro studenti nello studio della matematica. Nel testo si propone dunque di iniziare fin dalla scuola primaria ad usare aritmetica concreta accanto all’aritmetica astratta (quindi non solo aritmetica astratta). Si propone cioè di far seguire al numero astratto (che definisce la quantità ossia il valore della grandezza) una lettera (che definisce la qualità ossia l’unità di misura di quella quantità). Il metodo è arricchito anche dall’utilizzo della lingua inglese (essenziale nella definizione dei simboli delle unità di misura, prima, e dei simboli delle grandezze geometriche e fisiche, poi) e ciò ne mette in risalto la sua interdisciplinarietà. Gli studenti dovranno poi scegliere anche i simboli operazionali necessari per la risoluzione dei problemi, sviluppando così le loro capacità di analisi e di problem solving; per farlo potranno già utilizzare anche il controllo dimensionale (tipico della fisica), perché l’hanno già acquisito con l’aritmetica concreta usata per la risoluzione dei primi problemi di matematica. Nella mia esperienza professionale noto spessissimo che le competenze più richieste nel mondo del lavoro sono proprio quelle linguistiche (l’inglese in primis) e trasversali (come ad esempio il problem solving). Ritengo pertanto il metodo proposto dall’autore estremamente attuale e d'avanguardia. I giovani laureati in ambito scientifico (ingegneri, fisici, matematici e informatici) permangono inoltre in cima alla classifica dei più ambiti dalle aziende, con interessanti opportunità lavorative e di carriera. Premettendo che non tutti/e debbano essere interessati e proseguire i propri studi in ambito tecnico-scientifico solo per le prospettive lavorative, rimane di particolare attenzione ai fini dell’orientamento (prima scolastico e poi al lavoro) far prendere consapevolezza dei propri interessi. Spesso scatta infatti un loop che si autoalimenta: quanto più RIUSCIAMO in qualcosa, tanto più CI PIACE. Quanto più ci piace qualcosa, tanto più TENDIAMO A FARLA. Quanto più facciamo qualcosa, tanto più DIVENTIAMO BRAVI NEL FARLA. Tornando allora alla domanda iniziale “non ti piace la matematica o pensi di non essere abbastanza bravo/a in questa materia?” mi aspetto realisticamente che se uno/a studente/essa ottiene buoni risultati in matematica allora continua ad interessarsene (con beneficio della sua autoefficacia), ad impegnarsi e ad ottenere risultati gratificanti con effetti sulle sue scelte scolastiche e di carriera future. Se la matematica non venisse considerata una materia molto difficile allora anche la scelta di percorsi scolastici tecnico-scientifici potrebbe risultare meno problematica. Non rimane allora che scoprire COME questo metodo permette di facilitare la comprensione della matematica fin dalle scuole elementari. Numerosi sono nel testo gli spunti di riflessione per gli insegnanti (e perché no, anche per i genitori) che volessero scegliere di provare a mettere in pratica questo metodo con i propri studenti (o figli), così da facilitare la comprensione, fin dalla scuola elementare, dell’aritmetica concreta, dell’aritmetica astratta e perfino dell’algebra, con alcune delle sue regole. Scoprendo così subito che tutte le formule si esprimono in forma algebrica, a cominciare dalla formula della copertina del libro (per i primissimi problemi) e dalle formule della semplice geometria della scuola dell’obbligo. Dott.ssa Emanuela Valente

Da laureato in matematica e da insegnante di matematica di scuola media da poco andato in pensione, posso dire che se i miei allievi avessero avuto nella scuola primaria un approccio alla prima matematica basato sull'aritmetica concreta, io avrei potuto approfondire più facilmente i vari argomenti del programma di matematica, geometria, scienze naturali e prima fisica, proprio seguendo tutti i preziosi suggerimenti sparsi nel libro, soprattutto di questa nuova edizione riveduta e riccamente integrata rispetto alla prima versione. In questa edizione sono stati resi ancor più convincenti, oltre che più facilmente rintracciabili con l'introduzione dell'indice analitico, tutti quei pochi metodi avanzati e definitivi che servono,da soli, a dare grande sicurezza allo studente, perché sono metodi fondati su quei principi e quelle generalizzazioni che stanno alla base della matematica e della fisica. Si tratta di metodi, a cominciare dal metodo di sostituzione, che non si possono più dimenticare, perché, dopo averli applicati la prima volta, vengono usati di continuo,introdotti come versione per la scuola dell’obbligo di quella Didattica Breve che il prof. Filippo Ciampolini ideò per la scuola secondaria di secondo grado. Il tutto fatto in un modo lineare e ben congegnato, poiché insegna, contemporaneamente, sia a capire il testo scritto (e quindi le formule scritte da altri), sia a formalizzare e quindi a costruire quelle formule in prima persona, sia infine perché insegna a ragionare, in quanto quelle formule vengono lette/scritte vedendoci tutte le proporzionalità che contengono. Insegna anche a individuare le costanti di proporzionalità, che in ogni caso dipendono dalle unità di misura che vengono usate per le grandezze coinvolte e che appaiono già nelle formule di quella geometria concreta che risulta essere così il primo capitolo della fisica. Tutto ciò viene mostrato nell’approfondimento 11, che risulta essere molto interessante anche per studenti universitari di matematica e soprattutto di fisica. Nel libro si trovano suggerimenti su argomenti ben definiti, che anche l'ingegnere della Postfazione ha molto apprezzato e voluto elencare e che potrebbero essere i titoli di una formidabile serie di sei puntate da venti minuti l'una che, qualora fossero trasmesse dalla televisione nazionale, costituirebbero il corso di aggiornamento e approfondimento più proficuo, economico e breve (due ore in tutto) della storia del nostro Paese. Il corso permetterebbe di rendere di qualità l'insegnamento della matematica nella scuola dell'obbligo e, a cascata, nelle scuole superiori. Per me l'approfondimento n° 11 è stato una vera rivelazione, perché non avevo mai visto nessuno chiarire in modo così efficace il legame tra la geometria (concreta) e la fisica. Mettendo in evidenza non solo l’identico linguaggio algebrico con cui vengono espresse le formule di geometria e di fisica (linguaggio che già tutti noi insegnanti conosciamo), ma anche tutti i meccanismi interni comuni che fanno funzionare quelle formule allo stesso modo e che invece spesso noi insegnanti non mettiamo nell’evidenza che meritano, adeguandoci così alla dilagante fretta e superficialità. Partendo con i numeri concreti ? quei numeri che contengono le unità di misura accanto agli astratti valori numerici delle “prime grandezze” che si incontrano a scuola (che sono il "Numero di cose o di animali" nelle prime classi della scuola primaria e le solite "grandezze geometriche" nelle ultime classi della stessa scuola primaria) ? si arriva immediatamente all'aritmetica concreta e alla geometria concreta, cioè alla similalgebra, con la quale ci si prepara nel modo migliore possibile (e fin dalla scuola primaria!) allo studio della fisica. In questo modo si rende la fisica (classica) chiara a chiunque fin dall'inizio, cioè nella scuola media e nel biennio superiore, e quindi anche a chi poi non seguirà studi scientifici all'università. Le formule non spaventeranno più nessuno! Concludendo, questo è un libro che indica agli autori dei testi scolastici come sia possibile, con uno sforzo minimo, alzare di molto il livello dell'insegnamento insegnando a ragionare fin dalla scuola primaria e facendo capire che la matematica (elementare) e la fisica (classica), in virtù di pochi principi di base, non possono essere diverse da come sono. Attualmente, invece, gli studenti vengono “affogati”in un numero impressionante di regole pratiche (in matematica) e formule precostituite (in fisica), tutte slegate tra loro, che portano a (tentare di) fare le cose senza rendersi conto del perché si deve procedere in quel modo, con metodi di lavoro che saranno inevitabilmente dimenticati, proprio perché non hanno una logica alla loro base. Non viene neppure messo in evidenza ciò che quei metodi hanno in comune fra loro. Per ottenere questo grande successo (insegnare a ragionare e a non dimenticare ciò che si studia) è sufficiente partire con i numeri concreti e con l'aritmetica concreta, cioè scrivere quello che si dice, leggere quello che c'è scritto e abituarsi a fare il controllo dimensionale fin dalla scuola primaria, conquistando poi, in modo naturale e in prima persona, la prima astrazione della matematica, che è la solita aritmetica astratta. In questo modo s’impara a formalizzare fin dalle prime classi della scuola primaria, quando invece di continuare a disegnare dodici mele e nove uccellini si potrà scrivere direttamente 12 a (apple) e 9 b (bird) e quando, per allenare i piccoli a contare, si farà invece loro disegnare su carta quadrettata, non mele e uccellini, ma segmenti, rettangoli e parallelepipedi ? questi ultimi in rigorosa proiezione cavaliera ? prendendo come unità di misura il lato, l’area e il volume individuati dai quadratini del foglio.Converrebbe quindi usare carta quadrettata con linee distanti un centimetro, in modo da scrivere (e vedere chiaramente) come unità di misura rispettivamente il cm, il cm2 e il cm3. L’aritmetica concreta è una prassi nettamente superiore a quella corrente, che per risolvere i problemi concreti impone fin dal primo giorno i numeri astratti ad alunni che sono ancora impreparati per capire quel tipo di astrazione. Invece l’astrazione più semplice che si introduce con i simboli delle prime grossolane unità di misura (a per apple, b per bird, ecc.) ha il vantaggio di essere anche una convenzione internazionale (definitiva e interdisciplinare), oltre ad essere più graduale e perciò molto più adatta per le prime ore di matematica. Prof. Dino Giuliani