Analysis III

3 Ftir die Funktion . 1(. \,"), =): = 1 zum Beispiel hat (1) den Wert (4n: /3)R, (2) aber 2 den Wert R '2n: 'n: =2n: R. Urn den wahren Sachverhalt zu ergrtinden, betrachten wir flir ein grofies, aber festes SElN die im Innern von Q enthaltenen s-Wtirfel 1 . . ., und bezeichnen sie mit Wj (1;. . j N). Die durch (251. 2) definierte Abbildung g: u: = (r, qJ, 9) . . . . . x =(x, y. z) flihrt jeden Wtirfel Wj bijektiv in ein krummlinig begrenztes "KlOtzchen" LI j C B 3. R tiber (siehe die Fig. 252. 1). Diese Klotzchen bilden zusammen ein die Kugel B 3 R von innen approximierendes Klotzchengebaude, somit gilt (wir verwenden wie de rum das Zeichen == flir "ungefahr gleich"): Es sei u das Zentrum des Wtirfels Wj und xj: =g(uj)ELl . Wir wollen annehmen, j j die Funktion f sei stetig; dann dtirfen wir weiter schreiben Nun ist g differenzierbar und Wj "klein," somit ist eine flir alle UE Wj brauchbare Approximation. Hiernach ist das Klotzchen LI j = g(W) in erster Naherung ein Parallelepiped, das durch 'Verzerrung des Wtirfels Wj mit der linearen Abbildung g*(u ) entstanden ist. Aufgrund von Satz j (23. 22) gilt daher Fig. 252. 1 78 25. Variablentransformation bei mehrfachen integralen so daB wir anstelle vori (4) erhalten: (5) J"J(x)d/lx == f(x) Idetg*(u)I/l(W) = l(u) IJ."