Compendio di matematica per l'economia

Indice Prefazione dell’autore alla seconda edizione I Funzioni di una variabile 1 Richiami su alcuni concetti di base 1.1 Insiemi 1.2 I numeri 1.3 Sottoinsiemi importanti di R 1.4 Funzioni 1.4.1 Funzioni elementari 1.4.2 Funzioni implicite 1.5 Funzioni invertibili 1.5.1 Funzioni monotone e invertibilità 1.5.2 Forme implicite e invertibilità 1.6 Funzioni composte 1.7 Funzione potenza 1.8 Funzioni esponenziale e logaritmo 2 Calcolo differenziale 2.1 Tasso (istantaneo) di variazione per funzioni lisce 2.2 Alcune applicazioni della derivata 2.3 Un esempio: la strategia di una grande azienda 2.3.1 I dati del problema 2.3.2 L’obiettivo dell’azienda 2.3.3 Procedere “per tentativi”: un senso d’insicurezza e frustrazione 2.3.4 Verso la nozione di derivata 2.4 La derivata 2.4.1 Punti interni 2.4.2 Retta secante il grafico di una funzione liscia e rapporto incrementale 2.4.3 Retta tangente e limite del rapporto incrementale 2.4.4 La definizione di derivata in un punto 2.5 Derivate delle funzioni elementari 2.5.1 Derivata della funzione costante 2.5.2 Derivata della funzione identica 2.5.3 Derivata della funzione affine (retta) 2.5.4 Derivata della funzione quadrato 2.5.5 Derivata della funzione cubo 2.5.6 Derivata della funzione potenza a esponente naturale 2.5.7 Derivata della funzione potenza a esponente reale 2.5.8 Derivata delle funzioni esponenziale e logaritmo naturale 2.6 Regole di derivazione 2.6.1 Derivata del prodotto costante × funzione 2.6.2 Derivata della somma di funzioni 2.6.3 Derivata del prodotto di funzioni 2.6.4 Derivata del reciproco di una funzione 2.6.5 Derivata del rapporto tra funzioni 2.6.6 Derivata della funzione composta 2.7 Tabelle riassuntive 2.8 Esempi ed esercizi 2.9 Derivata seconda 3 Approfondimenti 3.1 Approssimazione locale di funzioni 3.1.1 Il differenziale 3.1.2 Il polinomio di Taylor 3.2 Derivata e monotonia 3.2.1 Condizioni di monotonia 3.2.2 Esempi 3.2.3 Studio del segno della derivata 3.3 Limiti 3.3.1 L’approccio intuitivo 3.3.2 Punti di accumulazione 3.3.3 La definizione di limite 3.4 Funzioni continue 3.4.1 Continuità, monotonia e invertibilità 3.4.2 Continuità e derivabilità 4 Applicazioni economiche 4.1 Il concetto di marginalità in economia 4.1.1 Costo marginale 4.1.2 Prodotto marginale 4.1.3 Ricavo e profitto marginale 4.1.4 Utilità marginale 4.1.5 Il differenziale in economia 4.2 Tassi di crescita 4.2.1 Tasso medio di crescita 4.2.2 Tasso istantaneo di crescita 4.2.3 Capitalizzazione continua e tasso d’interesse istantaneo 4.2.4 Derivata logaritmica e tasso istantaneo di crescita 4.3 Elasticità di una funzione 4.3.1 Elasticità intervallare 4.3.2 Elasticità puntuale 4.3.3 L’elasticità puntuale della curva di domanda 4.3.4 Derivata logaritmica ed elasticità puntuale 5 Calcolo integrale 5.1 Integrale indefinito 5.1.1 La costante di integrazione 5.1.2 Integrazione e regola della catena 5.1.3 Integrazione per sostituzione 5.1.4 Integrazione per parti 5.2 Integrale definito 5.2.1 Somme di Riemann 5.2.2 Proprietà dell’integrale definito 5.3 Teorema fondamentale del calcolo integrale 5.4 Applicazioni economiche 5.4.1 Flussi di cassa 5.4.2 Surplus del consumatore e del produttore 6 Ottimizzazione in una variabile 6.1 Cos’è un problema di ottimo? 6.1.1 Un esempio 6.1.2 Vincolo e restrizione 6.1.3 E il minimo? 6.1.4 Esistenza di massimi e minimi: alcuni esempi 6.1.5 Unicità del massimo e minimo globali 6.2 Massimi e minimi assoluti (globali) e relativi (locali) 6.2.1 Massimi e minimi assoluti 6.2.2 Massimi e minimi relativi 6.2.3 Relazione fra problemi di massimo e problemi di minimo 6.3 Esistenza del massimo e minimo assoluto 6.4 Caratterizzazione dei punti estremi interni: condizioni necessarie del primo ordine 6.5 Metodo diretto per la ricerca di estremi assoluti 6.6 Studio del segno della derivata seconda per la ricerca di estremi relativi interni 6.6.1 Condizioni sufficienti del secondo ordine 6.6.2 Punti estremi e polinomio di Taylor 6.6.3 Un metodo per gli estremi relativi 7 Raffinamenti e applicazioni economiche 7.1 Funzioni obiettivo concave (convesse) 7.1.1 Definizione e caratterizzazione della concavità/convessità 7.1.2 L’ipotesi di concavità in economia 7.1.3 Concavità/convessità e ottimizzazione: unicità del punto estremo assoluto 7.2 Segno della derivata prima e punti estremi 7.2.1 Studio dei punti di frontiera 7.2.2 Ottimizzazione su insiemi non limitati 7.3 Un’applicazione economica: la massimizzazione del profitto 7.3.1 Concorrenza perfetta 7.3.2 Impresa monopolistica 7.3.3 Un metodo unificato per risolvere problemi di massimo profitto 7.3.4 Esempi ed esercizi 7.4 Un metodo generale di riepilogo II Funzioni di più variabili 8 Vettori e funzioni di più variabili 8.1 Punti nello spazio euclideo: i vettori 8.2 Operazioni fra vettori 8.2.1 Somma di vettori 8.2.2 Moltiplicazione scalare 8.2.3 Prodotto scalare 8.3 Norma, versori e distanza euclidea 8.4 Sottoinsiemi particolari di Rn 8.4.1 Elementi di topologia 8.4.2 Insiemi convessi 8.5 Funzioni reali di n variabili 8.5.1 Esempi economici 8.5.2 Campi di esistenza 8.5.3 Funzioni di due variabili e loro grafico 9 Matrici e loro proprietà 9.1 Definizione di matrice 9.2 Operazioni fra matrici 9.2.1 Somma di matrici 9.2.2 Moltiplicazione per uno scalare 9.2.3 Prodotto fra matrici 9.2.4 Matrice trasposta 9.3 Matrici particolari 9.4 Matrici, sistemi lineari e funzioni (vettoriali) lineari 9.4.1 Sistemi di equazioni lineari 9.4.2 Funzioni vettoriali 9.4.3 Funzioni lineari 9.4.4 Matrici non singolari e funzioni lineari invertibili 9.4.5 Matrici quadrate e matrice inversa 9.5 Il determinante 9.5.1 Costruzione del determinante 9.5.2 Interpretazione grafica del determinante 9.5.3 Proprietà del determinante 9.5.4 Calcolo della matrice inversa 9.5.5 Rango di una matrice 10 Calcolo differenziale in più variabili 10.1 Derivata e differenziale 10.1.1 Derivate parziali 10.1.2 Il differenziale 10.1.3 Approssimazione lineare e differenziale 10.2 Derivata seconda e matrice Hessiana 10.3 Approssimazione non lineare 10.3.1 Forme quadratiche 10.3.2 Forme quadratiche definite da matrici Hessiane 10.3.3 Il polinomio di Taylor 10.4 Aspetti peculiari delle funzioni differenziabili 10.4.1 Funzione composta e regola della catena 10.4.2 Derivata direzionale 10.4.3 Gradiente e direzione di massima pendenza III Ottimizzazione 11 Ottimizzazione libera 11.1 Massimi e minimi assoluti e relativi 11.2 Caratterizzazione dei punti estremi interni: condizioni necessarie del primo ordine 11.3 Punti estremi interni e polinomio di Taylor 11.4 Forme quadratiche 11.4.1 Curvatura delle forme quadratiche di due variabili 11.4.2 Natura delle forme quadratiche 11.4.3 Segno della matrice che definisce una forma quadratica 11.5 Condizioni sufficienti del secondo ordine 11.6 Funzioni obiettivo concave (convesse) 11.6.1 Definizione di concavità/convessità 11.6.2 Caratterizzazione per funzioni differenziabili 11.6.3 Altre condizioni sufficienti 11.7 Concavità/convessità e punto estremo assoluto 12 Ottimizzazione vincolata I: vincoli di uguaglianza 12.1 Funzioni implicite 12.1.1 Curve di livello 12.1.2 Il Teorema della funzione implicita 12.1.3 Punti regolari e punti singolari 12.1.4 Curve di livello e gradiente 12.1.5 Funzioni implicite nel caso di n variabili 12.2 Il problema vincolato in due variabili 12.2.1 Interpretazione geometrica dei punti di ottimo vincolato 12.2.2 Metodo per sostituzione 12.2.3 Il Teorema di Lagrange in due variabili 12.2.4 Il moltiplicatore di Lagrange 12.2.5 Metodo del Lagrangiano per problemi con vincolo compatto 12.3 Il problema vincolato in n variabili 12.3.1 Vincoli definiti da più uguaglianze 12.3.2 Vincoli regolari 12.3.3 Il Teorema di Lagrange in n variabili 13 Ottimizzazione vincolata II: vincoli di disuguaglianza 13.1 Definizione del problema 13.2 Vincoli espressi da disuguaglianze 13.2.1 Vincoli convessi 13.2.2 Frontiera del vincolo e gradiente 13.2.3 Qualificazione dei vincoli attivi 13.3 Punti di Kuhn-Tucker 13.3.1 Vincoli definiti da una sola disuguaglianza 13.3.2 Vincoli definiti da m disuguaglianze 13.3.3 Un esempio in una sola variabile 13.3.4 Il metodo e alcuni esempi 14 Applicazioni economiche 14.1 Funzioni di n variabili in economia 14.1.1 Ordine parziale in Rn e monotonia delle funzioni di n variabili 14.1.2 L’ipotesi di concavità in economia 14.2 Funzioni implicite in economia 14.2.1 Isoquanti e saggio marginale di sostituzione 14.2.2 Preferenze, funzione di utilità e curve di indifferenza 14.2.3 Elasticità di sostituzione 14.2.4 Statica comparata: l’equilibrio di mercato 14.3 Massimizzazione del profitto 14.3.1 Concorrenza perfetta 14.3.2 Discriminazione del prezzo da parte di un monopolista 14.4 Il problema del consumatore 14.4.1 Non sazietà nei consumi e soluzione standard 14.4.2 Il vincolo di bilancio 14.4.3 Esempi ed esercizi 14.5 Ancora sulla produzione ottima 14.5.1 Vincolo sui costi 14.5.2 Minimizzazione dei costi 14.6 Funzione valore e moltiplicatore di Lagrange Soluzioni degli esercizi Bibliografia Indice analitico