Eine Analyse des 'Total Least Squares'-Problems

Studienarbeit aus dem Jahr 2007 im Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Université de Fribourg - Universität Freiburg (Schweiz) (Departement für Mathematik), Veranstaltung: Freies Seminar des Departements für Mathematik, Sprache: Deutsch, Abstract: Die Methode der Total Least Squares (TLS) produziert einen korrekten Fit der Daten wenn sowohl der Beobachtungsvector b (m×1) wie auch die Design Matrix A (m×n) Fehler enthalten. Dieser Artikel geht auf die Methode der TLS ein und vergleicht sie mit der Methode der Ordinary Least Squares (OLS). Weiters wird mit Hilfe der Singuar Value Decomposition (SVD) eine genaue Analyse der TLS präsentiert. Einleitung: Das Konzept der Total Least Squares (TLS) ist eine Datenschätztechnik, die statistische und numerische Methoden zusammenführt um Probleme zu lösen, die in einer grossen Anzahl von Anwendungen auftauchen. Im Grunde handelt es sich um eine Schätzmethode für lineare Parameter, wie sie in zahlreichen Gebieten der Wissenschaft und Technik auftreten. Dazu zählen unter anderem die Signalverarbeitung, die Systemtheorie, das allgemeine Ingenieurwesen, die Statistik, die Physik wie auch die Ökonomie, die Biologie etc. Die Methode der TLS trägt mehrere Namen und ist je nach Fachbereich auch als Orthogonalregression oder als das „errors-in-variables" Modell bekannt. Dieser Artikel stellt die Methode der TLS dem bereits bekannten Ansatz zur Schätzung linearer Parameter mittels Regressionsanalyse bzw. Ordinary Least Squares (OLS) gegenüber. Weiters werden mehrere Aspekte des TLS Problems diskutiert und mittels der Singular Value Decomposition (SVD) die Analyse des Problems durchgeführt. Der Rest dieses Artikels ist wie folgt gegliedert: Abschnitt 2 führt mittels eines Beispiels zu OLS und TLS in die Methoden ein und gibt eine allgemeine Einführung in die lineare Parameterschätzung. In Abschnitt 3 werden die OLS der TLS Methode gegenübergestellt sowie die Prinzipien der TLS besprochen. Mittels der SVD wird eine Lösung der TLS angegeben. Der Autor stützt sich dabei vor allem auf die Beiträge von Golub und Van Loan (1980), Van Huffel und Vandewalle (1991) wie auch Nievergelt (1994). Abschnitt 4 nennt eine Reihe von Anwendungen der TLS, während die Hauptergebnisse dieses Artikels und der durchgeführten Analyse in Abschnitt 5 zusammengefasst werden.