Funzioni e numeri

Prefazione

CAPITOLO 1. ANNOTAZIONI SULL’EREDITÀ DEL SETTECENTO
1.1 Sul calcolo infinitesimale
1.2 Le serie trigonometriche e le equazioni della fisica matematica
1.2.1. Interpolazione
1.2.2. D’Alembert: l’equazione delle onde
1.2.3. Fourier: l’equazione del calore
1.2.4. Laplace: il potenziale gravitazionale

CAPITOLO 2. CAUCHY, ABEL E BOLZANO
2.1. L’analisi di Cauchy
2.1.1. Variabili, funzioni, limiti e continuità
2.1.2. Differenziabilità e integrazione
2.1.3. Serie numeriche e serie di funzioni
2.2. Serie di potenze
2.2.1. Gauss sulla serie ipergeometrica
2.2.2. Abel sulle serie di potenze
2.2.3. Serie di potenze: un breve sommario oggi
2.3. Bolzano
2.3.1. Rein analytischer Beweis e Funktionenlehere
2.3.2. Reine Zahlelehre e Paradoxien des Unendlichen

CAPITOLO 3. SERIE DI FOURIER: DIRICHLET E RIEMANN
3.1. Poisson e Cauchy sulle serie trigonometriche
3.2. Dirichlet
3.2.1. Sulle serie di Fourier
3.2.2. Su alcuni principi del calcolo
3.2.3. Il principio di Dirichlet.
3.3. Riemann
3.3.1. L’integrale di Riemann
3.3.2. Il criterio di integrabilità di Riemann-Lebesgue-Vitali
3.3.3. Sulle serie trigonometriche
3.4. Serie di Fourier: uno sguardo dopo Riemann
3.4.1. I teoremi di Dini
3.4.2. Il teorema di Fejér

CAPITOLO 4. IL PERIODO DEL RIGORE DI WEIERSTRASS
4.1. Il calcolo 82
4.1.1. Continuità e differenziabilità
4.1.2. Convergenza delle funzioni
4.2. Cantor e la nascita della teoria degli insiemi
4.2.1. I reali di ordine λ, la retta e gli insiemi di prima specie
4.2.2. Il teorema di unicità di Cantor
4.3. Ulteriori riflessioni sull’integrale di Riemann
4.3.1. Le funzioni discontinue
4.3.2. Limiti dell’integrale di Riemann
4.3.3. La misura di Peano-Jordan e l’integrale multiplo
4.4. La misura di Borel

CAPITOLO 5. NUMERI E INSIEMI
5.1. I numeri
5.1.1. Da Weierstrass a Cantor
5.1.2. Dedekind
5.1.3. Dai naturali ai reali e viceversa
5.2. Cantor e l’infinito
5.2.1. I Grundlagen
5.2.2. Il procedimento diagonale di Cantor
5.2.3. I Beiträge
5.2.4. Gli insiemi e i paradossi dell’infinito
5.3. Il metodo assiomatico
5.3.1. La teoria assiomatica degli insiemi
5.3.2. Hilbert e Gödel: coerenza e certezza

CAPITOLO 6. MISURA E INTEGRAZIONE
6.1. Misura e integrale di Lebesgue
6.1.1. La Tesi di dottorato di Lebesgue: misura e integrale
6.1.2. Misura e integrale di Lebesgue
6.1.3. I teoremi di convergenza
6.1.4. Derivazione e teorema fondamentale del calcolo
6.2. Teoria astratta della misura
6.2.1. La teoria di Carathéodory
6.2.2. Misure di Borel e di Radon
6.2.3. Derivazione delle misure
6.2.4. La misura di Lebesgue-Stieltjes
6.2.5. La misura di Hausdorff

CAPITOLO 7. APPENA UNO SGUARDO SU UN NUOVO MONDO
7.1. Il primo Novecento: qualche annotazione
7.1.1. La teoria spettrale di Hilbert-Schmidt
7.2. Le serie trigonometriche e lo spazio L2
7.2.1. Lebesgue e le serie trigonometriche
7.2.2. Fatou e le serie trigonometriche
7.2.3. Il teorema di Riesz-Fischer
7.2.4. Gli spazi L1 e L2
7.3. Gli spazi di Hilbert
7.3.1. Qualche definizione
7.3.2. Spazi di Hilbert separabili e serie di Fourier astratte
7.3.3. Il principio di Dirichlet

CAPITOLO 8. COMPLEMENTI E TEMI DA SVILUPPARE

Bibliografia
Indice dei nomi
Indice analitico