Giornalista e reporter di viaggi per giornali come il «Guardian» e il «Sunday Times», è poi passato alla carriera da sceneggiatore. Nato nel Sussex, vive a Londra, dove da tempo si occupa di scrittura per la televisione. Il suo script più famoso è sicuramente Florence Foster Jenkins, da cui è stato tratto l'omonimo film con Meryl Streep e Hugh Grant diretto da Stephen Frears. La storia di Florence è anche stata raccontata in un libro, Florence, scritto da Martin insieme a Jasper Rees e pubblicato in Italia da Piemme nel 2016.