L' esame di statistica e calcolo delle probabilità. Manuale completo per la prova scritta e orale

Probabilità e statistica Teoria 1 Elementi di calcolo delle probabilità 1. Introduzione 2. Evoluzione storica della statistica 3. Eventi ed algebra di Boole 3.1 Unione (somma logica) 3.2 Negazione 3.3 Intersezione (prodotto logico) 3.4 Partizione di 4. Definizioni alternative della probabilità 4.1 Definizione classica 4.2 Definizione frequentista 4.3 Definizione soggettivista 5. Assiomatizzazione del calcolo delle probabilità 6. Probabilità condizionata 6.1 Albero degli eventi 6.2 Affidabilità 7. Partizione di eventi e regola di Bayes 8. Teorema di Bayes 9. Richiami di calcolo combinatorio 2 Teoria delle variabili aleatorie 1. Introduzione 2. Variabili aleatorie discrete e continue 2.1 Funzione di ripartizione 2.2 Funzione di rischio 3. Variabili aleatorie multivariate 3.1 Variabili aleatorie marginali e condizionate 3.2 Indipendenza tra variabili aleatorie 4. Trasformazioni di variabili aleatorie 5. Valore medio di variabili aleatorie 5.1 Valore medio di una v.a. multivariata 5.2 Proprietà del valore medio 5.3 Valori medi condizionati 6. Moda e mediana di variabili aleatorie 7. Varianza di variabili aleatorie 7.1 Proprietà della varianza 7.2 Varianza condizionata 8. Asimmetria e curtosi di variabili aleatorie 8.1 Asimmetria 8.2 Curtosi 9. Momenti di variabili aleatorie 9.1 Momenti r ¨C esimi 9.2 Momenti r ¨C esimi rispetto al valore medio 9.3 Momenti r ¨C esimi standardizzati 10. Funzione generatrice dei momenti 11. Covarianza e coefficiente di correlazione lineare 11.1 Covarianza 11.2 Coefficiente di correlazione 12. Analisi della dipendenza e regressione 12.1 Metodo dei minimi quadrati 12.2 Indice R2 di determinazione lineare 13. Disuguaglianza di Chebyshev 14. Criteri di convergenza di successioni di variabili aleatorie 15. Modelli per variabili aleatorie discrete e continue Utilizzo dei fogli elettronici in statistica Retta di regressione 3 Modelli per variabili aleatorie discrete 1. Introduzione 2. La variabile aleatoria uniforme discreta 3. La variabile aleatoria di Bernoulli 4. La variabile aleatoria binomiale 5. La variabile aleatoria ipergeometrica 6. La variabile aleatoria geometrica 7. La variabile aleatoria binomiale negativa 8. La variabile aleatoria di Poisson Utilizzo dei fogli elettronici in statistica Variabile aleatoria binomiale Variabile aleatoria ipergeometrica Variabile aleatoria di Poisson 4 Modelli per variabili aleatorie continue 1. Introduzione 2. La variabile aleatoria uniforme continua 3. La variabile aleatoria esponenziale negativa 4. La variabile aleatoria Gamma 5. La variabile aleatoria normale 5.1 Utilizzo della Tavola 1 in Appendice 6. Variabili aleatorie dedotte dalla normale: chi - quadrato, t di Student, F di Fisher, lognormale 6.1 La variabile aleatoria chi - quadrato 6.2 La variabile aleatoria t di Student 6.3 La variabile aleatoria F di Fisher 6.4 La variabile aleatoria lognormale 7. La variabile aleatoria normale bivariata 8. Leggi dei grandi numeri 8.1 Leggi deboli dei grandi numeri 8.2 Leggi forti dei grandi numeri 9. Teorema limite centrale Utilizzo dei fogli elettronici in statistica Variabile aleatoria esponenziale negativa Variabile aleatoria normale standardizzata Variabile aleatoria chi-quadrato Variabile aleatoria t di Student Variabile aleatoria F di Fisher 5 Studio sperimentale di variabili aleatorie. Distribuzioni campionarie 1. Introduzione 2. Campioni casuali semplici con e senza ripetizione 3. Altre procedure di campionamento 3.1 Campionamento probabilistico 3.2 Campionamento non probabilistico 4. Statistiche campionarie e distribuzioni campionarie 4.1 Distribuzione della media campionaria 4.2 Distribuzione della varianza campionaria 4.3 Distribuzione delle differenze delle medie campionarie 4.4 Distribuzione della proporzione (o frequenza) campionaria 4.5 Distribuzione delle differenze delle proporzioni campionarie 4.6 Distribuzione del coefficiente di correlazione campionario 5. Gli errori 6 Teoria della stima 1. Introduzione 2. Propriet¨¤ ottimali di uno stimatore 2.1 Correttezza 2.2 Consistenza 2.3 Efficienza 2.4 Sufficienza 2.5 Normalit¨¤ asintotica 3. Metodi di stima 3.1 Metodo dei minimi quadrati 3.2 Metodo dei momenti 3.3 Metodo della massima verosimiglianza 4. Intervalli di confidenza e determinazione della numerosit¨¤ del campione 4.1 Intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza nota 4.2 Intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza non nota 4.3 Intervallo di confidenza per la differenza tra le medie di due popolazioni normali con varianza nota 4.4 Intervallo di confidenza per la differenza tra le medie di due popolazioni normali con varianza non nota 4.5 Intervallo di confidenza per la proporzione di una popolazione normale 4.6 Intervallo di confidenza per la differenza tra le proporzioni di due popolazioni normali 4.7 Intervallo di confidenza per la varianza di una popolazione normale 4.8 Intervallo di confidenza per il rapporto tra le varianze di due popolazioni normali 5. Stima dei coefficienti di regressione 6. Metodo Monte Carlo 6.1 Numeri pseudo - casuali 6.2 Applicazione del metodo Monte Carlo Utilizzo dei fogli elettronici in statistica Varianza campionaria corretta Intervallo di confidenza 7 Test delle ipotesi statistiche. Test parametrici 1. Introduzione 2. I test statistici 3. Test sulla media di una popolazione con varianza nota. Test normale 4. Test sulla media di una popolazione con varianza non nota. Test t di Student 5. Test sulla varianza di una popolazione. Test chi - quadrato 6. Test sulla differenza tra le medie di due popolazioni se sono note le varianze Test normale 7. Test sulla differenza tra le medie di due popolazioni se non sono note le varianze. Test t di Student 8. Test sulla differenza tra medie per campioni appaiati. Test t di Student 9. Test sul rapporto tra varianze. Test F di Fisher 10. Analisi della varianza (Anova). Test F di Fisher 11. Test sul coefficiente di correlazione. Test t di Student 12. Test sui coefficienti di regressione Utilizzo dei fogli elettronici in statistica Test t: due campioni accoppiati per medie Analisi della varianza 8 Test non parametrici 1. Introduzione 2. Test su frequenze. Test binomiale e test normale 2.1 Test binomiale 2.2 Test normale 3. Test sulla differenza tra tendenze centrali. Test della mediana 4. Test sulla differenza tra tendenze centrali per campioni appaiati. Test dei segni 5. Test sulla differenza tra frequenze 6. Test sulla differenza tra frequenze per campioni appaiati. Test di McNemar 7. Test sulla indipendenza. Test chi - quadrato e test esatto di Fisher 7.1 Test chi - quadrato 7.2 Test esatto di Fisher 9 Controllo della qualità 1. Introduzione 1.1 Regola del tre - sigma e errori di I e II tipo 2. Carte di controllo per variabili 2.1 Carta di controllo X 2.2 Carta di controllo S 3. Carte di controllo per attributi 3.1 Carta di controllo p 3.2 Carta di controllo c 4. Carte di controllo CuSum Probabilità e statistica Esercizi 1 Elementi di calcolo delle probabilità Sezione Prima: Insiemi e probabilità Teoria della probabilità Prova Estrazione Evento Spazio campione Eventi e insiemi Unione (somma logica) di eventi Negazione di eventi Intersezione (prodotto logico) di eventi Partizione di ¦¸ Definizione classica di probabilità Definizione frequentista di probabilità Definizione soggettivista di probabilità Assiomatizzazione del calcolo delle probabilità Probabilità condizionata Albero degli eventi Affidabilità Regola di Bayes (o regola della fattorizzazione) Teorema delle probabilità totali Teorema di Bayes Sezione Seconda: Richiami di calcolo combinatorio Disposizioni senza ripetizione Disposizioni con ripetizione Permutazioni Combinazioni senza ripetizione Combinazioni con ripetizione Prove scritte assegnate Quesiti a scelta multipla Risposte Ulteriori quesiti a scelta multipla Test di verifica (Vero/Falso) 2 Teoria delle variabili aleatorie Sezione Prima: Variabili aleatorie Variabile aleatoria Variabile aleatoria discreta Variabile aleatoria continua Funzione di ripartizione Funzione di rischio Sezione Seconda: Variabili aleatorie multivariate Variabili aleatorie multivariate Variabile aleatoria discreta multivariata Variabile aleatoria continua multivariata Variabili aleatorie marginali Variabili aleatorie condizionate Distribuzione doppia: caso discreto Indipendenza tra variabili aleatorie Trasformazioni di variabili aleatorie Sezione Terza: Momenti di variabili aleatorie Valore medio di variabili aleatorie Valore medio di una v.a. multivariata Valori medi condizionati Moda di variabili aleatorie Mediana di variabili aleatorie Varianza di variabili aleatorie Varianza condizionata Asimmetria di variabili aleatorie Curtosi di variabili aleatorie Momenti di variabili aleatorie Momenti r ¨C esimi Momenti r ¨C esimi rispetto al valore medio Momenti r ¨C esimi standardizzati Funzione generatrice dei momenti Sezione Quarta: Relazioni tra variabili aleatorie Covarianza Combinazione lineare di variabili aleatorie Coefficiente di correlazione Analisi della regressione Retta di regressione Metodo dei minimi quadrati Indice di determinazione lineare Disuguaglianza di Chebyshev Prove scritte assegnate Quesiti a scelta multipla Risposte Ulteriori quesiti a scelta multipla Test di verifica (Vero/Falso) 3 Modelli per variabili aleatorie Sezione Prima: Variabili aleatorie discrete Variabile aleatoria uniforme discreta Variabile aleatoria di Bernoulli Variabile aleatoria binomiale Variabile aleatoria ipergeometrica Variabile aleatoria geometrica Variabile aleatoria binomiale negativa Variabile aleatoria di Poisson Sezione Seconda: Variabili aleatorie continue Variabile aleatoria uniforme continua Variabile aleatoria esponenziale negativa Variabile aleatoria Gamma Variabile aleatoria normale Variabile aleatoria normale standardizzata Variabile aleatoria chi - quadrato Variabile aleatoria t di Student Variabile aleatoria F di Fisher Variabile aleatoria normale bivariata Successioni di variabili aleatorie Convergenza in distribuzione Convergenza in probabilit¨¤ Convergenza in media quadratica Convergenza quasi certa Leggi dei grandi numeri Teorema limite centrale Teorema limite centrale (De Moivre - Laplace) Applicazioni del teorema limite centrale Prove scritte assegnate Quesiti a scelta multipla Risposte Ulteriori quesiti a scelta multipla Test di verifica (Vero/Falso) 4 Studio sperimentale di variabili aleatorie. Distribuzioni campionarie Sezione Prima: Universo dei campioni Campionamento Campionamento casuale semplice Campioni ordinati e non ordinati Universo dei campioni Sezione Seconda: Distribuzioni campionarie Statistiche e parametri Distribuzione campionaria Distribuzione della media campionaria Distribuzione della varianza campionaria Distribuzione delle differenze delle medie campionarie Distribuzione della proporzione (o frequenza) campionaria Distribuzione della differenza delle proporzioni campionarie Distribuzione del coefficiente di correlazione campionario Quesiti a scelta multipla Risposte Ulteriori quesiti a scelta multipla Test di verifica (Vero/Falso) 5 Teoria della stima Sezione Prima: Stimatori e proprietà degli stimatori Stimatore Teoria della stima Proprietà ottimali di uno stimatore 1. Correttezza 2. Consistenza 3. Efficienza 4. Sufficienza 5. Normalità asintotica Sezione Seconda: Metodi di costruzione degli stimatori 1. Metodo dei minimi quadrati 2. Metodo dei momenti 3. Metodo della massima verosimiglianza Sezione Terza: Intervalli di confidenza Intervallo di confidenza 1. Intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza nota 2. Intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza non nota 3. Intervallo di confidenza per la differenza tra le medie di due popolazioni normali con varianza nota 4. Intervallo di confidenza per la differenza tra le medie di due popolazioni normali con varianza non nota 5. Intervallo di confidenza per la proporzione di una popolazione normale 6. Intervallo di confidenza per la differenza tra le proporzioni di due popolazioni normali 7. Intervallo di confidenza per la varianza di una popolazione normale 8. Intervallo di confidenza per il rapporto tra le varianze di due popolazioni normali 9. Intervalli di confidenza per i coefficienti di regressione Prove scritte assegnate Quesiti a scelta multipla Risposte Test di verifica (Vero/Falso) 6 Test delle ipotesi statistiche. Test parametrici Sezione Prima: Test sulla media di una popolazione con varianza nota. Test normale Test statistico Test parametrici e test non parametrici Regione di accettazione Regione critica Probabilit¨¤ dell'errore del I tipo (¦Á) Probabilità dell'errore del II tipo (¦Â) Livello di significatività del test Test sulla media di una popolazione normale con varianza nota Sezione Seconda: Test sulla media di una popolazione con varianza non nota. Test t di Student Test Sezione Terza: Test sulla varianza di una popolazione Test chi - quadrato Test Sezione Quarta: Test sulla differenza tra le medie di due popolazioni se sono note le varianze. Test normale Test Sezione Quinta: Test sulla differenza tra le medie di due popolazioni se non sono note le varianze. Test t di Student Test Sezione Sesta: Test sulla differenza tra medie per campioni appaiati. Test t di Student Campioni appaiati Test Sezione Settima: Test sul rapporto tra varianze. Test F di Fisher Test Sezione Ottava: Analisi della varianza (Anova). Test F di Fisher Analisi della varianza Analisi della varianza ad un fattore Analisi della varianza a due fattori Sezione Nona: Test sul coefficiente di correlazione Test t di Student e test normale Test Sezione Decima: Test sui coefficienti di regressione. Test F di Fisher Test Quesiti a scelta multipla Risposte Test di verifica (Vero/Falso) 7 Test non parametrici Sezione Prima: Test su frequenze. Test binomiale e test normale Test non parametr ici Test su frequenze. Test binomiale e test nor male 1. Test binomiale 2. Test nor male Sezione Seconda: Test sulla differenza tra frequenze. Test normale Test Sezione Terza: Test sulla differenza tra frequenze per campioni appaiati. Test di McNemar Test Sezione Quarta: Test sulla indipendenza Test chi-quadrato e test esatto di Fisher 1. Test chi-quadrato 2. Test esatto di Fisher Prove scritte assegnate Quesiti a scelta multipla Risposte Test di verifica (Vero/Falso) Appendice Tavola 1 Tavola 2 Tavola 3 Tavola 4