Nasce a Milano nel 1933 (figlio di Michelangelo, violinista e musicologo, e fratello di Marcello, pianista e compositore), dove studia composizione, pianoforte e direzione d’orchestra al Conservatorio G. Verdi, con E. Calace, G. C. Paribeni, A. Votto e B. Bettinelli, diplomandosi nel 1957 in direzione d'orchestra all'Accademia musicale di Vienna, dove è allievo di H. Swarowski.
Inizia l'attività direttoriale nel 1958 vincendo a Tanglewood (SUA) il premio Kusevickij e nel 1963 il premio Mitropoulos alla Filarmonica di New York.
Debutta al Teatro alla Scala nel 1960 e ne sarà direttore musicale dal 1968 al 1986. Ha diretto il Berliner Philharmoniker.
Ha fondato nel 1986, per valorizzare i giovani musicisti, la Mahler Jugendorchestra, l’European Community Youth Orchestra, nel 2003 l’Orchestra del Festival di Lucerna, la Chamber Orchestra of Europe e nel 2004 l'Orchestra Mozart di Bologna.
Nel suo ampio repertorio recente, oltre ai compositori dell'ultimo romanticismo, emergono le avanguardie del Novecento e i musicisti contemporanei.
Il 30 agosto 2013 è stato nominato senatore a vita.
Tra i suoi libri: Musica maestri! Il direttore d'orchestra tra mito e mestiere: conversazioni con Claudio Abbado a cura di Franca Rosti (Feltrinelli 1985); La casa dei suoni da un'idea di Rosellina Archinto, testi a cura di Giulia Valerio, illustrazioni di Paolo Cardoni, pubblicato inizialmente da Vallardi nel 1986 (nel 1995 anche in una versione con illustrazioni di Emanuele Luzzati) e ora nel catalogo Babalibri; Musica sopra Berlino: conversazione con Lidia Bramani (Bompiani 1997); Da Nono a Monteverdi (Banca popolare di Milano 2000).
Abbado si è spento nel gennaio 2014.
Ecco il ricordo di Sergio Escobar:
“Quando oltre trent’anni fa entrai alla Scala la prima volta come assistente di Badini, fui letteralmente rapito da un potentissimo Boris Godunov diretto da Abbado con la regia di Lubimov. Vissi la straordinaria esperienza di condividere con Abbado la nascita della Filarmonica della Scala, da lui caparbiamente voluta per superare la distinzione tra orchestra lirica e orchestra sinfonica. Tanti i titoli”, aggiunge Escobar, “ma quello che ho sempre davanti agli occhi è il Claudio Abbado che non sapeva trattenere un sorriso di gioia, che coinvolgeva palcoscenico, orchestra e pubblico, mentre dirigeva lo splendido Viaggio a Reims firmato con Ronconi”.